隨機(jī)變量模型和隨機(jī)過程模型是研究應(yīng)力腐蝕概率的常用模型，本章重點(diǎn)介紹隨機(jī)變量模型。

一、應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

 1942年，Pugsley提出了采用應(yīng)力、強(qiáng)度分布函數(shù)曲線的干涉區(qū)面積分析失效概率的方法，即應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型，該模型在構(gòu)件和系統(tǒng)的可靠性分析中得到了廣泛應(yīng)用。目前，已成為分析構(gòu)件和系統(tǒng)失效概率的重要模型之一。在結(jié)構(gòu)可靠性分析中，應(yīng)力－強(qiáng)度（S-R)干涉模型應(yīng)用最廣，模型中的S和R的含義不僅僅是力學(xué)分析中的應(yīng)力和強(qiáng)度，二者具有更廣泛的范疇。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言，S指的是造成結(jié)構(gòu)破壞的所有因素，即推動(dòng)力；R代表了結(jié)構(gòu)抵抗破壞的能力，即阻抗力。

  應(yīng)力腐蝕斷裂是一種低應(yīng)力脆斷，是斷裂和腐蝕兩種機(jī)理相互影響的結(jié)果。因此，當(dāng)應(yīng)力還遠(yuǎn)低于斷裂應(yīng)力時(shí)就能引起應(yīng)力腐蝕裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展。應(yīng)力作用降低了材料的耐腐蝕性能，而腐蝕降低了材料的斷裂強(qiáng)度，兩者是互相促進(jìn)的。也就是說，機(jī)械力和化學(xué)力的協(xié)同作用導(dǎo)致了裂紋的擴(kuò)展，如果只有應(yīng)力或腐蝕單獨(dú)作用，是不會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力腐蝕斷裂的結(jié)果。應(yīng)力腐蝕斷裂要經(jīng)過一定的時(shí)間才能發(fā)生，這是因?yàn)槟芰糠e蓄到使材料破壞的程度是需要時(shí)間的，應(yīng)力腐蝕是使材料強(qiáng)度逐漸退化的過程，因此，我們可以采用耐久性損傷模型來描述應(yīng)力腐蝕失效的物理過程。由S-R干涉模型的理論可以寫出結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程

  因此，對(duì)于失效概率的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)強(qiáng)度和應(yīng)力由于概率分布干涉引起的狀態(tài)失效問題的研究。當(dāng)fs(s)和fR(r)分別表示應(yīng)力和強(qiáng)度的概率密度函數(shù)時(shí)，圖中兩者重疊部分面積反映了失效概率的大小，如圖6-1所示。

  假如最初應(yīng)力與強(qiáng)度是留有充分的安全余量的，那么經(jīng)過一定時(shí)間后，隨著應(yīng)力分布與強(qiáng)度分布的交疊，就有失效發(fā)生，這種情形可以說是耐久模型的典型例子。根據(jù)應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型不但能夠求解應(yīng)力腐蝕失效概率，還可以分析應(yīng)力腐蝕不同階段的概率情況，如裂紋的萌生概率、裂紋的擴(kuò)展概率等。

  當(dāng)材料發(fā)生腐蝕后，隨著時(shí)間的推移，材料抵抗破壞的能力降低，而腐蝕環(huán)境很可能變得更加苛刻。例如應(yīng)力腐蝕，隨著裂紋的擴(kuò)展，材料強(qiáng)度降低、裂紋尖端應(yīng)力集中區(qū)域增大，局部存在侵蝕性離子的富集，使得廣義應(yīng)力變大而強(qiáng)度降低，此時(shí)S(t)和R(t)都是與時(shí)間有關(guān)的變量，很顯然，概率密度函數(shù)也著時(shí)間的變化而變化。當(dāng)強(qiáng)度隨時(shí)間發(fā)生衰退時(shí)，強(qiáng)度和應(yīng)力組成的干涉區(qū)域隨時(shí)間變化會(huì)越來越大，這意味著產(chǎn)品可靠性在降低。

  大多數(shù)參數(shù)的不確定性與時(shí)間有關(guān)。發(fā)生應(yīng)力腐蝕時(shí)，構(gòu)件所受的廣義應(yīng)力一般是隨機(jī)過程，應(yīng)力稱為時(shí)間的函數(shù)，強(qiáng)度為一固定的臨界值，如圖6-2所示，功能函數(shù)應(yīng)表示為

二、應(yīng)力腐蝕參數(shù)的概率分布估計(jì)

1. 變量分布類型確定

  采用S-R模型分析應(yīng)力腐蝕失效概率時(shí)，第一步是確定應(yīng)力腐蝕的“推動(dòng)力”，即S所包含的參數(shù)，包括溫度、侵蝕性離子濃度、pH值等，分析各參數(shù)的分布概型。在進(jìn)行參數(shù)的概率分布類型研究中，一般經(jīng)過以下步驟：①. 假設(shè)隨機(jī)變量服從某一分布；②. 在假設(shè)分布基礎(chǔ)上構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量；③. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布做出統(tǒng)計(jì)推斷，進(jìn)行擬合檢驗(yàn)；④. 選擇最優(yōu)概型。常用的統(tǒng)計(jì)量包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、變異系數(shù)、偏度等。正態(tài)分布、威布爾（Weibull)分布、指數(shù)分布以及Poisson分布等都是應(yīng)力腐蝕概率分析中經(jīng)常用到的隨機(jī)變量的概率分布類型。

通常，直接計(jì)算概率的密度函數(shù)難度非常大，常用的處理方法是把概率密度估計(jì)轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計(jì)問題。因此概率密度函數(shù)的確定是關(guān)鍵，正確的密度函數(shù)是獲得準(zhǔn)確估計(jì)值的重要前提。

2. 參數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

由于正態(tài)分布情況發(fā)生的比較多，因此，以正態(tài)分布為例加以說明。參數(shù)估計(jì)的思路是采用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)。常用的參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)法和最大（極大）似然法，除此之外，還有最小二乘、貝葉斯估計(jì)等方法。矩估計(jì)法不受變量分布的影響，這也恰恰成為該方法的缺點(diǎn)，即變量的分布信息不能被充分利用，一般具有多個(gè)分析結(jié)果。與矩估計(jì)法相反，最大似然法的使用受已知變量概型的影響，必須在已知概型的前提下才能使用，而且假設(shè)的概率模型正確性對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果影響很大。最大似然估計(jì)法具有計(jì)算簡(jiǎn)單、收斂型好等特點(diǎn)，在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用更加廣泛，其主要計(jì)算步驟如下：

  式（6-10)稱為似然方程組，求解該方程組，得出均值、方差最大似然估計(jì)值

  以上過程是參數(shù)估計(jì)，下面對(duì)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。與參數(shù)估計(jì)的目的相同，參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)也是根據(jù)樣本信息對(duì)總體的數(shù)量特征進(jìn)行推斷。

  假設(shè)檢驗(yàn)是以樣本資料對(duì)總體的先驗(yàn)假設(shè)是否成立，根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)假設(shè)的總體參數(shù)的可靠度，同時(shí)做出判斷結(jié)果，判斷結(jié)果包括接受和拒絕。分析過程是：①. 提出原假設(shè)（要求檢驗(yàn)的假設(shè)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假設(shè)（如果原假設(shè)不成立，就要接受另一個(gè)假設(shè)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；③. 計(jì)算觀測(cè)值；④. 確定顯著性水平；⑤. 依據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值的位置給出判斷結(jié)果。

在以上分析過程中，可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤：當(dāng)H0為真時(shí)而拒絕H0,稱為第一類錯(cuò)誤；當(dāng)H0為假時(shí)而接受H0,稱為第二類錯(cuò)誤。犯兩類錯(cuò)誤的概率通常是矛盾的：一個(gè)概率小了另一個(gè)概率就大。在實(shí)際使用中，我們一般限定犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過給定的α,使犯第二類錯(cuò)誤的概率就可能小。在正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)中，主要包括均值的U檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)、方差的χ2檢驗(yàn)等。

3. 分布的假設(shè)檢驗(yàn)

  上一小節(jié)介紹的是在總體分布已知的情況下，對(duì)分布中的一些未知參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。但是，很多時(shí)候并不知道總體的分布規(guī)律，我們往往是根據(jù)樣本來假設(shè)總體的分布類型，因此，對(duì)于總體樣本所假設(shè)的分布是否正確，還需要檢驗(yàn)，常用的有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗(yàn)方法，其中χ2檢驗(yàn)應(yīng)用較多，下面以這種方法為例，介紹檢驗(yàn)過程。

  χ2檢驗(yàn)法的分析過程是：①. 提出原假設(shè)；②. 檢驗(yàn)假設(shè)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個(gè)互不相交的小區(qū)間把樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，通常每個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)不少于5個(gè)，若不滿足這一要求，可以通過合并區(qū)間來達(dá)到這一要求。假設(shè)H0成立，根據(jù)分組結(jié)果計(jì)算χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

4. 主要參數(shù)的概率分布

 根據(jù)以上分析步驟，對(duì)應(yīng)力腐蝕環(huán)境中的離子濃度的統(tǒng)計(jì)性進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)來自某石化企業(yè)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。頻率直方圖要將樣本值分為r個(gè)不相交的區(qū)間，r值可由 Sturges公式確定，并取整數(shù)。r值取決于樣本數(shù)n。

  首先，假設(shè)各參數(shù)服從正態(tài)分布，并畫出正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線，該計(jì)算采用matlab編程完成，計(jì)算結(jié)果如圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離子濃度和硫酸根離子濃度滿足正態(tài)分布，而亞硫酸根離子濃度不滿足正態(tài)分布，經(jīng)過分析，認(rèn)為滿足威布爾分布，如圖6-4所示。

  經(jīng)過卡方檢驗(yàn)，在顯著性水平0.05下，可以認(rèn)為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數(shù)威布爾分布。

  亞硫酸根離子濃度服從威布爾分布的原因：亞硫酸根不穩(wěn)定，與氫離子反應(yīng)，從而濃度逐漸減小。

三、失效概率計(jì)算方法

1. 解析法

  當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度是比較簡(jiǎn)單的變量時(shí)，式（6-4)可以直接計(jì)算失效概率。在一些研究中，會(huì)出現(xiàn)“干涉面積＝失效概率”的說法，這種說法是不正確的。根據(jù)可靠性理論可知，應(yīng)力－強(qiáng)度模型中強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率即為可靠度。可靠度P可根據(jù)下式計(jì)算

  從計(jì)算結(jié)果可以看出，失效概率遠(yuǎn)小于干涉面積之和。

2. 數(shù)值解析法

  當(dāng)隨機(jī)變量較多時(shí)，直接求解失效概率值是很困難的，采用數(shù)值求解是一種比較好的解決方法。在應(yīng)力腐蝕概率計(jì)算中，涉及的隨機(jī)變量較多且具有不同的分布類型，結(jié)果難以用解析法和近似法求解，可以采用蒙特卡洛（Monte-Carlo)模擬法。Monte-Carlo模擬法的特點(diǎn)是：①. 受研究問題維數(shù)的影響較小；②. 不受假設(shè)約束；③. 不存在狀態(tài)空間爆炸問題；④. 不受變量數(shù)量的影響。因此，Monte-Carlo法是一種處理高維動(dòng)態(tài)失效概率問題的方法。

  蒙特卡洛模擬法又稱為隨機(jī)模擬法，基本思想是：